마코위츠 포트폴리오 이전 글 링크:
[투자전략] 마코위츠 포트폴리오 이론 최적화 실습 예정
마지막 글에 마코위츠 포트폴리오를 실습한다는 글을 올렸었습니다. 그에 대한 결과와 추가적인 설명을 여기서 얘기해볼까 합니다. (준비과정은 링크확인 부탁드립니다.)
0. 성과와 위험도에 대한 배경지식
마코위츠 포트폴리오이론에서는 N개의 투자 대상을 조합하여 성과(Return)에 대한 위험도(Risk)를 최소화하는 방안을 제시할 수 있습니다. 여기서 성과와 위험도는 무엇일까요?
성과는 우리가 투자를 통해 얼마나 기분 좋을 수 있을까를 대표하는 지표이어야 합니다. 앞으로 얼마나 벌 수 있을지? 한번 베팅해서 얼마나 벌 수 있을지? 내일이면 얼마나 벌 수 있을지? 내년은 얼마나 벌 수 있을지? 기대수익은 얼마나 될지 등이 되겠습니다. 제가 본 예시에서는 성과(Return)은 지난 수년 동안의 주식의 일일 수익률의 평균 이었습니다. 그러면, 오늘 우리가 어떤 주식을 산다고하면 내일 평균적으로 몇 %의 수익을 올릴 수 있을지 지난 일일 수익률의 평균으로 가늠해볼 수 있겠죠.
위험도(Risk)는 반대로 이 투자를 통해 얼마나 고통스러울지?를 대표할 수 있어야 합니다. 이 투자로 나는 얼마까지 잃을 수 있을까? 어느정도까지 손실할 수 있을까? 내 투자금을 모두 잃을 확률도 있을까? 입니다. 통상적으로 표준편차, Max Draw Down(MDD), 파산확률이 이에 해당할 수 있을 것 같습니다. 예시에서는 위험도를 일일 수익률의 표준편차로 생각합니다. 금융권에서 Sharpe 지수 (수익률/표준편차)에서 나오듯이, 표준편차는 투자대상의 위험도를 나타내는 대표값으로 널리 사용되고 있습니다.
마코위츠 포트폴리오 이론에서는 여러개의 투자대상을 보유할 때의 성과 (일일수익률의 평균)와 위험도 (일일수익률의 표준편차)를 계산하여 위험도가 최소화된, 위험도 대비 성과가 극대화된 투자대상의 조합을 구할 수 있습니다. 이 때 조합은 가능한 많은 조합을 계산하여 이중 가장 최적화된 값을 찾는 방식입니다. 수식으로 하면 다음과 같이 표현됩니다.
시뮬레이션할 때는 위의 weight (wi,wj)를 랜덤하게 생성하여 가능한 포트폴리오를 전부 생성합니다. 이 때 위험도가 최소인 포트폴리오, 수익률이 최대인 포트폴리오, 수익률/표준편차(sharpe ratio)가 최대인 포트폴리오를 구할 수 있습니다.
위 수식을 자세히 보시면 포트폴리오의 표준편차는 개별 투자자산의 표준편차와 공분산이 weight에 따라 합해진 것으로 '정확히'표현됩니다. 기대수익률과 위험도는 동일하지만 공분산(상관도)이 <1보다 작은 (모든 자산은 서로의 상관도가 1보다 작을 수 밖에 없습니다.) 두종목을 투자한다고 생각해보면, 한 종목에 모두 투자할 때보다 두종목에 투자할 때 위험도(표준편차)가 감소하는 것을 볼 수 있습니다.
1. 국내 주식에 대한 수익/리스크 분포
아래와 같이 국내 주식 시가 총액 상위 10개 종목에 대해서 포트폴리오를 확인해봤습니다 (일일수익률을 1년 수익률로 변환했습니다.) 당연하지만, 포트폴리오 종목수가 늘어난다고 수익평균이 당연히 늘어나지 않습니다. 네, 분산투자는 수익률을 높여주지 않습니다. 하지만, 종목수가 2→10개로 늘어나면서 점점 최소리스크가 줄어드는 것을 볼 수 있습니다. 즉, 분산투자를 하면 할 수록 위험도가 줄어듭니다.
재밌는 것은 종목수 N을 늘릴 수록 weight가 있는 차원이 N차원이 되면서 수익/리스크분포의 점점 경계가 흐릿해지는것을 볼 수 있습니다. weight 랜덤 생성을 200만번을 했음에도 불구하고 상위 10종목에서는 투자선의 경계가 많이 흐린 것을 볼 수 있습니다. 20개 이상 투자자산에 대해 돌린다고 하면 시간이 엄청 많이 필요하거나 더 좋은 컴퓨터 그리고 전문적인 코딩실력을 가지고 있어야 잘 할 수 있을것 같았습니다.
하지만, 많은 자산에 대해 최적 weight를 구하지 않더라도 동일비중(역삼각형)으로 하더라도 적절한 성과와 리스크를 보여주는 것을 알 수 있습니다. 시뮬레이션을 하지 않았지만, 리스크에 반비례하는 비중으로하면 더 리스크를 줄일 수 있을 것으로 생각이 됩니다. 따라서 개인이 투자 포트폴리오를 만들 때 반드시 아래와 같은 복잡한 과정을 거치지 않고 동일 비중으로 해도 적절한 수준의 리스크 헷지 효과를 얻을 수 있을 것입니다.
2. 자산의 정규분포 가정
마코위츠 포트폴리오 이론의 훌륭한 점은 이 이론 자체는 군더더기 가정이 최소화 되있다는 점인 것 같습니다. 여기서 합리적인 투자자를 가정하면 효율적 시장 가설을 대표하는 자본자산가격결정모형(CAPM)으로 이어지는 것 같습니다.
마코위츠 포트폴리오 이론에서 가정하는 가장 중요한 부분이 있습니다. 여기서 투자자산의 성과와 위험도를 평균과 표준편차로 대표하게 됩니다. 이렇게 되면 투자자산의 움직임을 완벽하게 정규분포로 가정하게 됩니다. 하지만, 대체로 자산가격의 움직임(예를들어 일일수익률의 분포)는 정규분포를 따르는 것처럼 보입니다. 하지만, 아래와 같이 삼성전자의 수익률 빈도 분포만봐도 수익과 손실의 양극단에서 정규분포를 넘어서는 빈도수가 나오는 것을 알 수 있습니다. 즉, 마코위츠의 포트폴리오에서 가정하는 투자자산의 정규분포는 현실의 움직임을 100% 대변하지는 않습니다.
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